14. 浮点数算法：争议和限制¶

浮点数在计算机中表达为二进制（binary）小数。例如：十进制小数:

0.125

是 1/10 + 2/100 + 5/1000 的值，同样二进制小数:

0.001

是 0/2 + 0/4 + 1/8。这两个数值相同。唯一的实质区别是第一个写为十进制小数记法，第二个是二进制。

遗憾的是，大多数十进制小数不能精确的表达二进制小数。

这个问题更早的时候首先在十进制中发现。考虑小数形式的 1/3 ，你可以来个十进制的近似值。

0.3

或者更进一步的,

0.33

或者更进一步的,

0.333

诸如此类。如果你写多少位，这个结果永远不是精确的 1/3 ，但是可以无限接近 1/3 。

同样，无论在二进制中写多少位，十进制数 0.1 都不能精确表达为二进制小数。二进制来表达 1/10 是一个无限循环小数:

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

在任意无限位数值中中止，你可以得到一个近似。

在一个典型的机器上运行 Python，一共有53位的精度来表示一个浮点数，所以当你输入十进制的 0.1 的时候，看到是一个二进制的小数:

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010

非常接近，但是不完全等于，1/10。

这是很容易忘记，存储的值是一个近似的原小数，由于浮体的方式，显示在提示符的解释。Python 中只打印一个小数近似的真实机器所存储的二进制近似的十进制值。如果 Python 要打印存储的二进制近似真实的十进制值 0.1，那就要显示:

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

这么多位的数字对大多数人是没有用的，所以 Python 显示一个舍入的值

>>> 1 / 10
0.1

只要记住即使打印的结果看上去是精确的 1/10，真正存储的值是最近似的二进制小数。

有趣地是，存在许多不同的十进制数共享着相同的近似二进制小数。例如，数字 0.1 和 0.10000000000000001 以及 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 都是 3602879701896397 / 2 ** 55 的近似值。因为所有这些十进制数共享相同的近似值，在保持恒等式 eval(repr(x)) == x 的同时，显示的可能是它们中的任何一个。

历史上，Python 提示符和内置的 repr() 函数选择一个 17 位精度的数字，0.10000000000000001。从 Python 3.1 开始，Python（在大多数系统上）能够从这些数字当中选择最短的一个并简单地显示 0.1。

注意，这是二进制浮点数的自然性质：它不是 Python 中的一个 bug，也不是你的代码中的 bug。你会看到所有支持硬件浮点数算法的语言都会有这个现象（尽管有些语言默认情况下或者在所有输出模式下可能不会 显示 出差异）。

为了输出更好看，你可能想用字符串格式化来生成固定位数的有效数字:

>>> format(math.pi, '.12g')  # give 12 significant digits
'3.14159265359'

>>> format(math.pi, '.2f')   # give 2 digits after the point
'3.14'

>>> repr(math.pi)
'3.141592653589793'

认识到这，在真正意义上，是一种错觉是很重要的：你在简单地舍入真实机器值的 显示。

例如，既然 0.1 不是精确的 1/10，3 个 0.1 的值相加可能也不会得到精确的 0.3:

>>> .1 + .1 + .1 == .3
False

另外，既然 0.1 不能更接近 1/10 的精确值而且 0.3 不能更接近 3/10 的精确值，使用 round() 函数提前舍入也没有帮助:

>>> round(.1, 1) + round(.1, 1) + round(.1, 1) == round(.3, 1)
False

虽然这些数字不可能再更接近它们想要的精确值，round() 函数可以用于在计算之后进行舍入，这样的话不精确的结果就可以和另外一个相比较了:

>>> round(.1 + .1 + .1, 10) == round(.3, 10)
True

二进制浮点数计算有很多这样意想不到的结果。“0.1”的问题在下面”误差的表示”一节中有准确详细的解释。更完整的常见怪异现象请参见 浮点数的危险。

最后我要说，“没有简单的答案”。也不要过分小心浮点数！Python 浮点数计算中的误差源之于浮点数硬件，大多数机器上每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够了，但是你要在心中记住这不是十进制算法，每个浮点数计算可能会带来一个新的舍入错误。

虽然确实有问题存在，对于大多数平常的浮点数运算，你只要简单地将最终显示的结果舍入到你期望的十进制位数，你就会得到你期望的最终结果。str() 通常已经足够用了，对于更好的控制可以参阅 格式化字符串语法 中 str.format() 方法的格式说明符。

对于需要精确十进制表示的情况，可以尝试使用 decimal 模块，它实现的十进制运算适合会计方面的应用和高精度要求的应用。

fractions 模块支持另外一种形式的运算，它实现的运算基于有理数（因此像1/3这样的数字可以精确地表示）。

如果你是浮点数操作的重度使用者，你应该看一下由 SciPy 项目提供的 Numerical Python 包和其它用于数学和统计学的包。参看 <http://scipy.org>。

当你真的 真 想要知道浮点数精确值的时候，Python 提供这样的工具可以帮助你。float.as_integer_ratio() 方法以分数的形式表示一个浮点数的值:

>>> x = 3.14159
>>> x.as_integer_ratio()
(3537115888337719, 1125899906842624)

因为比值是精确的，它可以用来无损地重新生成初始值:

>>> x == 3537115888337719 / 1125899906842624
True

float.hex() 方法以十六进制表示浮点数，给出的同样是计算机存储的精确值:

>>> x.hex()
'0x1.921f9f01b866ep+1'

精确的十六进制表示可以用来准确地重新构建浮点数:

>>> x == float.fromhex('0x1.921f9f01b866ep+1')
True

因为可以精确表示，所以可以用在不同版本的 Python（与平台相关）之间可靠地移植数据以及与支持同样格式的其它语言（例如 Java 和 C99）交换数据。

另外一个有用的工具是 math.fsum() 函数，它帮助求和过程中减少精度的损失。当数值在不停地相加的时候，它会跟踪“丢弃的数字”。这可以给总体的准确度带来不同，以至于错误不会累积到影响最终结果的点:

>>> sum([0.1] * 10) == 1.0
False
>>> math.fsum([0.1] * 10) == 1.0
True

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

1 / 10 ~= J / (2**N)

J ~= 2**N / 10

>>> 2**52
4503599627370496
>>> 2**53
9007199254740992
>>> 2**56/10
7205759403792793

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

>>> q+1
7205759403792794

7205759403792794 / 72057594037927936

>>> .1 * 2**55
7205759403792794.0

>>> 3602879701896397 * 10 ** 55 // 2 ** 55
1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

>>> format(0.1, '.17f')
'0.10000000000000001'

>>> from decimal import Decimal
>>> from fractions import Fraction

>>> Fraction.from_float(0.1)
Fraction(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> (0.1).as_integer_ratio()
(3602879701896397, 36028797018963968)

>>> Decimal.from_float(0.1)
Decimal('0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625')

>>> format(Decimal.from_float(0.1), '.17')
'0.10000000000000001'