Julia 线性代数
2018-08-12 21:26 更新
线性代数
矩阵分解
矩阵分解是将一个矩阵分解为数个矩阵的乘积，是线性代数中的一个核心概念。
下面的表格总结了在 Julia 中实现的几种矩阵分解方式。具体的函数可以参考标准库文档的 Linear Algebra章节。
| Cholesky | Cholesky 分解 |
| CholeskyPivoted | 主元 Cholesky 分解 |
| LU | LU 分解 |
| LUTridiagonal | 三对角矩阵的 LU 因子分解 |
| UmfpackLU | 稀疏矩阵的 LU 分解（使用 UMFPACK 计算） |
| QR | QR 分解 |
| QRCompactWY | QR 分解的紧凑 WY 形式 |
| QRPivoted | 主元 QR 分解 |
| Hessenberg | Hessenberg 分解 |
| Eigen | 特征分解 |
| SVD | 奇异值分解 |
| GeneralizedSVD | 广义奇异值分解 |
特殊矩阵
线性代数中经常碰到带有对称性结构的特殊矩阵，这些矩阵经常和矩阵分解联系到一起。Julia 内置了非常丰富的特殊矩阵类型，可以快速地对特殊矩阵进行特定的操作.
下面的表格总结了 Julia 中特殊的矩阵类型，其中也包含了 LAPACK 中的一些已经优化过的运算。
| Hermitian | 埃尔米特矩阵 |
| Triangular | 上/下三角矩阵 |
| Tridiagonal | 三对角矩阵 |
| SymTridiagonal | 对称三对角矩 |
| Bidiagonal | 上/下双对角矩阵 |
| Diagonal | 对角矩阵 |
| UniformScaling | 缩放矩阵 |
基本运算
| 矩阵类型 | + | - | * | \ | 其它已优化的函数 |
|---|---|---|---|---|---|
| Hermitian | XY | inv, sqrtm, expm | |||
| Triangular | XY | XY | inv, det | ||
| SymTridiagonal | X | X | XZ | XY | eigmax/min |
| Tridiagonal | X | X | XZ | XY | |
| Bidiagonal | X | X | XZ | XY | |
| Diagnoal | X | X | XY | XY | inv, det, logdet, / |
| UniformScaling | X | X | XYZ | XYZ | / |
图例：
| X | 已对矩阵-矩阵运算优化 |
|---|---|
| Y | 已对矩阵-向量运算优化 |
| Z | 已对矩阵-标量运算优化 |
矩阵分解
| 矩阵类型 | LAPACK | eig | eigvals | eigvecs | svd | svdvals |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Hermitian | HE | ABC | ||||
| Triangular | TR | |||||
| SymTridiagonal | ST | A | ABC | AD | ||
| Tridiagonal | GT | |||||
| Bidiagonal | BD | A | A | |||
| Diagonal | DI | A |
图例：
| A | 已对寻找特征值和/或特征向量优化 | 例如 eigvals(M) |
|---|---|---|
| B | 已对寻找 ilth 到 ihth 特征值优化 | eigvals(M, il, ih) |
| C | 已对寻找在 [vl, vh] 之间的特征值优化 | eigvals(M, vl, vh) |
| D | 已对寻找特征值 x=[x1, x2,...] 所对应的特征向量优化 | eigvecs(M, x) |
缩放运算
一个 UniformScaling 运算符代表了一个单位算子的标量次数, λ*I。单位算子 I 被定义为一个常量且是 UniformScaling 的一个实例。 这些运算符的尺寸是一般大小，可匹配 +,-,* 和 \ 等其它二元运算符中的矩阵。对于 A+I 和 A-I 这意味着 A 必须是一个方阵. 使用了单位算子 I 的乘法运算是一个空操作(除非缩放因子为一) ，因此基本没有开销。
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